Fractales: ¿formas de la naturaleza?

Al contemplar un fractal, inevitablemente recordamos alguna forma de la naturaleza; parece que la esencia de la geometría de la realidad, y con ella su atractivo, halla una simulación, o una explicación, en la geometría fractal. Pero veamos por qué decimos esto. Ante todo, expliquemos por qué a esta singular especialización en la teoría del caos se la conoce como geometría fractal. (Extraído de Abelardo Gil Fournier)

Los fractales constituyen una de las secciones más hermosas de la teoría del caos. Lo que en un principio comenzó como una observación sobre la repetición indefinida de una misma estructura, ha acabado dando lugar a imágenes de increíble belleza, que han caracterizado especialmente a esta ciencia matemática, alejándola de la frialdad con que se suele tratar al resto de las matemáticas. 

     

Pero no es solamente la belleza el motivo del estudio de los fractales (motivo ya de por sí suficiente). Al contemplar un fractal, inevitablemente recordamos alguna forma de la naturaleza; parece que la esencia de la geometría de la realidad, y con ella su atractivo, halla una simulación, o una explicación, en la geometría fractal. Pero veamos por qué decimos esto. Ante todo, expliquemos por qué a esta singular especialización en la teoría del caos se la conoce como geometría fractal. La referencia a la geometría es clara; en esta área estudiamos figuras, formas en el espacio. La palabra fractal guarda un significado más complejo. Se refiere al hecho de que matemáticamente la dimensión de estos objetos no es un número entero, como cabría esperar tras haber estudiado durante 2500 años la geometría euclídea, o las derivadas de ésta; la dimensión de un objeto fractal es un número decimal, racional o irracional. No entramos en el aspecto del cálculo para la obtención del valor de la dimensión de un fractal.

     

Preferimos estudiar el concepto de dimensión decimal y sus implicaciones. Otra característica de estos objetos, la que precisamente los hace bellos al espíritu humano, es la reiteración de un motivo constantemente, infinitas veces. La complejidad que observamos en un fractal no es en realidad más que una impresión producida por el inmenso número de veces que se repite una imagen, aunque siempre con sutiles diferencias. No encontraremos en un fractal dos fragmentos idénticos el uno al otro. Además de describir cómo es un fractal, tenemos que relacionarlo con la teoría de los sistemas dinámicos caóticos. 

      

Estudiando éstos con las herramientas de la topología existe ya un puente de unión. La obtención misma de un fractal constituye un proceso iterativo, lo que lo emparienta con los sistemas dinámicos. Más allá de todo tratamiento matemático, y de todo estudio cualitativo, la semejanza entre los fractales y lo que observamos en la realidad nos obliga a pensar en la capacidad de explicación de la naturaleza ofrecida por los sistemas dinámicos, y, también, nos lleva a la cuestión siguiente: ¿tendremos que sustituir los triángulos de Pitágoras por estas extrañas figuras?